Devrik matris

Matematiğin bir alt dalı olan doğrusal cebirde, bir ${\displaystyle A}$ matrisinin devriği ya da transpozu bu matrisin satırları ile sütunları karşılıklı yer değiştirilmesiyle elde edilen matrise denilir.^[1] Devriği alınmış bir matrise devrik matris denilir.^[2] Bir ${\displaystyle A}$ matrisinin devriği genellikle transpoz karşılığından hareketle ${\displaystyle A^{t}}$ şeklinde ifade edilir; ancak, kullanılan diğer gösterimler arasında ${\displaystyle A^{'}}$, ${\displaystyle A^{tr}}$ ve ${\displaystyle A^{T}}$ de vardır. Bir matrisin devriği aşağıdaki biçimlerde elde edilebilir:

• ${\displaystyle A}$ matrisinin ana köşegene göre yansıması alınarak ${\displaystyle A^{t}}$ elde edilir,
• ${\displaystyle A}$ matrisinin satırları ${\displaystyle A^{t}}$ matrisinin sütünları olarak yazılarak elde edilir,
• ${\displaystyle A}$ matrisinin sütünları ${\displaystyle A^{t}}$ matrisinin satırları olarak yazılarak elde edilir.

${\displaystyle A^{t}}$ matrisinin ${\displaystyle (i,j)}$ ögesi ${\displaystyle A}$ matrisinin ${\displaystyle (j,i)}$ ile gösterilen ögesine eşittir:

${\displaystyle _{ij}=_{ji}}$

Eğer ${\displaystyle A}$ matrisi ${\displaystyle m\times n}$ bir matris ise ${\displaystyle A^{t}}$ matrisi ${\displaystyle b\times m}$ bir matristir. Bir sayılın (skaler) devriği yine o sayıldır.

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;}$

${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ matrisleri ve ${\displaystyle c}$ sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. ${\displaystyle (A^{T})^{T}=A\quad \,}$

   Bir matrisin devriğinin devriği kendisidir.

2. ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,}$

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. ${\displaystyle \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}\,}$

   Matris çarpımının devriği yukardaki gibidir; matrislerin çarpımının sırası değişir ve iki matrisin de devriği alınır. Matris çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. ${\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}\,}$

   Sayıl ile matris çarpımının devriği alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve matrisin devriği alınır. Sayılın devriği kendisine eşittir ve matris ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. ${\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)\,}$

   Kare bir matris için matrisin determinantı ile o matrisin devriğinin determinantı aynıdır.

6. İki ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ vektörünün, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   ${\displaystyle a\cdot b=a^{T}b}$

   Bu çarpımda ${\displaystyle a_{i}b^{i}}$ şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada ${\displaystyle i}$ alt imi ve ${\displaystyle i}$ üst iminin aynı olması ${\displaystyle i}$ üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
7. ${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\,}$

   Tersi alınabilir bir matrisin devriğinin de tersi alınabilir. Yukarıdaki ${\displaystyle A}$ matrisinin devriğinin tersi ile tersinin devriği birbirine eşittir. Herhangi bir matrisin tersinin devriğinin tersi kendisine eşittir. ${\displaystyle A^{-T}}$şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer ${\displaystyle A}$ kare bir matris ise bu matrisin özdeğerleri ile devriklerinin özdeğerleri birbirine eşittir.