Asal köşegen

Matematiğin bir alt dalı olan doğrusal cebirde, bir ${\displaystyle A}$ matrisinin asal köşegeni, esas köşegeni ya da ana köşegeni ${\displaystyle A_{i,j}}$ şeklinde gösterilen ögelerden ${\displaystyle i}$ alt iminin ${\displaystyle j}$ alt imine eşit olan ögelerin tamamının oluşturduğu kümedir.^[1]

Bir kare matrisin asal ya da esas köşegeni sol üst köşeden sağ alt köşeye kadar olan ögelerin kümesidir; diğer deyişle, bir ${\displaystyle }$ matrisi için ${\displaystyle a_{11},a_{23},\cdots ,a_{nn}}$ ögelerinden oluşan küme asal köşegendir.^[2] Aşağıdaki matris için üç tane 1'in oluşturduğu küme asal köşegendir. Bu asal köşegen aynı zamanda sol üst köşeden sağ alt köşeden aşağıya giden bir çizgi olarak da düşünülebilir. Aşağıdaki dört matrisin ana köşegenleri kırmızı ile gösterilmiştir:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&0&\color {red}{1}&0\\0&0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}}$$

Yukarıdaki matris gibi asal köşegeni dışındaki ögeleri sıfır olan dizeylere birim matris denir.^[3] Asal köşegen üzerindeki ögelerin toplamına matrisin izi denir. Bu toplam aynı zamanda matrisin özdeğerlerinin toplamına da eşittir.

Kare olmayan matrisler için asal köşegen kavramı kullanışlı bir kavram değildir.

Sağ üst köşeden sol alt köşeye kadar olan ögelerin tamamına yedek köşegen denir.^[1]

Bir ${\displaystyle N}$ kare matrisin yedek köşegeni (bazen ters köşegen veya ikincil köşegen^[4]) ${\displaystyle B}$, tüm ${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$ için ${\displaystyle i+j=N+1}$ olacak şekilde ${\displaystyle b_{i,j}}$ girişlerinin toplamıdır. Yani, aşağıda kırmızı ile gösterildiği üzere sağ üst köşeden sol alt köşeye doğru uzanır.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{1}\\0&\color {red}{1}&0\\\color {red}{1}&0&0\end{bmatrix}}}$