Ağırlık merkezi

Bir cismin moleküllerine etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktasına ağırlık merkezi denir. Fizikte ve mühendislik hesaplarında işlemlerin basitleştirilmesi için yaygın olarak kullanılır.

Homojen yapılı ve simetrik cisimlerde ağırlık merkezi simetri eksenlerinin kesişme noktasındadır. Basit geometrik şekillerin veya basit geometrik şekillere bölünebilen cisimlerin ağırlık merkezleri çizim yolu ile kolaylıkla bulunabilir.

Yandaki şekilde, bir dirkdörtgenin ağırlık merkezinin, birbirine dik iki kenarın ortalarını birleştirmek sureti ile çizilen doğruların kesişme noktalarının verdiği O noktası olduğu gösterilmiştir. Bu nokta aynı zamanda dikdörtgenin köşegenlerinin de kesişim noktasıdır.

Yandaki şekillerde iki dikdörtgenden oluşan bir cismin ağırlık merkezinin çizim yoluyla bulunuşu gösterilmektedir.

1. Cisim şekil 2'de görüldüğü biçimde iki dikdörtgene ayrılır ve oluşan iki yeni dikdörtgenin köşegenleri çizilerek, bu dikdörtgenlerin A ve B ağırlık merkezleri bulunur. İki dikdörtgenden oluşan bu cismin ağırlık merkezi AB doğrusu üzerinde olacaktır. Ancak tam yeri belli değildir.
2. Şekil 3'te görüldüğü biçimde cisim iki farklı dikdörtgene daha ayrılır, köşegenleri çizilerek C ve D ağırlık merkezleri bulunur. Yine iki dikdörtgenden oluşan bu cismin ağırlık merkezi CD doğrusu üzerinde olacaktır.
3. Şekil 4'te görülen biçimde, AB ve CD doğruları kesiştirilir, kesişme noktası olan O noktası cismin ağırlık merkezidir.

Herhangi n sayıda parçadan oluşan homojen düzlemsel bir cismin, seçilen bir eksen takımına göre ağırlık merkezi yeri olan (${\displaystyle X_{o}}$,${\displaystyle Y_{o}}$) noktası aşağıdaki bağıntılar yardımıyla hesaplanabilir. Burada ; ${\displaystyle F_{i}}$ parça alanı, ${\displaystyle x_{i}}$ parçanın x koordinatı, ${\displaystyle y_{i}}$ parçanın y koordinatıdır.

${\displaystyle X_{1}0=\sum _{i=1}^{n}{\frac {F_{i}\cdot x_{i}}{\sum F}}}$, ${\displaystyle Y_{o}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {F_{i}\cdot y_{i}}{\sum F}}}$

Burada ayrıca,

${\displaystyle S_{x}=\sum _{i=1}^{n}{F_{i}\cdot x_{i}}}$, ${\displaystyle S_{y}=\sum _{i=1}^{n}{F_{i}\cdot y_{i}}}$

ya da integral biçimleriyle,

${\displaystyle S_{x}=\int _{F}y\cdot dF}$, ${\displaystyle S_{y}=\int _{F}x\cdot dF}$

büyüklükleri statik momentler olarak tanımlanır, statik momentin birimi cm³'dür. Görüleceği üzere ağırlık merkezi koordinatları, ilgili eksen için statik momentin alana bölümüdür.

Ağırlık merkezinin hesabının daha genel hali aşağıdaki biçimdedir. Karmaşık geometrik şekillerin ağırlık merkezleri bu integraller yardımıyla hesaplanır.

${\displaystyle X_{o}={\frac {1}{F}}\int _{F}y\cdot dF}$, ${\displaystyle Y_{o}={\frac {1}{F}}\int _{F}x\cdot dF}$